FECHA 14/02/2009

MATERIA: MATEMATICAS. 2

MAESTRO: ING. RICARDO MEDRANO LLAMAS

ALUMNOS: ALFREDO PARREÑO MARTINEZ
: CARLOS PASTRANA Y JUAN PABLO CAPUCHINO
POSTULADO

Postulado. Aristóteles consideraba que los postulados eran proposiciones no universalmente admitidas, es decir, no evidentes pos si mismas, como los axiomas. De esta manera los postulados se distinguen de los axiomas y también de ciertas proposiciones que se toman como base de una demostración pero que no tienen un alcance universal.
En la geometría de Euclides la noción de postulado recibió una formulación que ha sido vigente durante muchos siglos: “el postulado es una proposición de carácter fundamental para un sistema deductivo, que no es evidente por si misma, como el axioma, y no puede ser demostrada, como el teorema”. Un ejemplo de postulado: “Se postula que de cualquier punto a cualquier punto puede trazarse una línea recta”.
La mayor parte de los autores consideran hoy que no puede mantenerse la diferencia clásica entre axioma y postulado y aun entre postulado y teorema en sentido general. En primer lugar, lo que se califica de axioma puede llamarme igualmente postulado; basta para ello con descartar la expresión ‘evidente por sí mismo’ que para muchos es dudosa.
En segundo término los postulados pueden ser considerados simplemente como teoremas iniciales en una cadena deductiva.
Lo que parece caracterizar la noción de postulado no es su aprioridad sino la posición que ocupa en un sistema deductivo. En un sentido peculiar Kant ha llamado postulados del pensamiento empírico en general a los tres principios siguientes:
1).- Lo que concuerda con las condiciones formales de la experiencia (en cuanto a la intuición y a los conceptos) es posible;
2).- Lo que concuerda con las condiciones materiales de la experiencia (de la sensación) es real;
3).- Aquello cuya conexión con lo real está determinado por las condiciones generales de la experiencia es necesario (existe necesariamente)
Estos tres postulados son simplemente “explicaciones de la posibilidad, de la realidad y de la necesidad en su uso empírico”, debiendo aplicarle sólo a la experiencia posible y a su unidad sintética.
Los postulados de la razón práctica—libertad, inmortalidad, Dios— son, en cambio, los principios cuya admisión hace necesario el hecho de la conciencia moral y de la ley moral, convirtiéndose de este modo en consecuencias metafísicas de la ética en vez de constituir (como en la filosofía tradicional) los fundamentos de la ética.


Axioma
Axioma, en lógica y matemáticas es un principio básico que es asumido como verdadero sin recurrir a demostración alguna. El uso de axiomas para la resolución de problemas matemáticos empezó en la antigua Grecia, probablemente a partir del siglo V a.C., dio lugar al nacimiento de la matemática pura tal como hoy la conocemos. Ejemplos de axiomas podrían ser los siguientes: 'Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo' (principio de contradicción); 'Si a cantidades iguales se les añaden cantidades iguales, las sumas resultantes también son iguales'; 'El todo es mayor que cualquiera de sus partes'. La lógica y las matemáticas puras empiezan con algunas proposiciones indemostrables de las que se derivan otras proposiciones (teoremas). Hay que reconocer que este procedimiento es circular o bien que se da una infinita regresión en el
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razonamiento. Los axiomas de un sistema deben ser coherentes con algún otro, es decir, deben evitar incurrir en contradicción. Deben ser también independientes en el sentido de que no deben derivarse de ningún otro y deben ser muy pocos en número. A veces los axiomas han de interpretarse como verdades evidentes en sí mismas. La tendencia actual es reconocer tal pretensión para aseverar que un axioma debe ser asumido como verdadero sin demostración alguna en el sistema de que forma parte.
Los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como sinónimos. Algunas veces la palabra axioma se usa para referirse a los principios básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema deductivo, y el término postulado para señalar a los primeros principios peculiares de un sistema particular, como la geometría de Euclides. Rara vez se usa el término axioma para referirse a los primeros principios de la lógica, ni el término postulado para aludir a los primeros principios de las matemáticas.
Teorema
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado
Terminología
En matemática una afirmación debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan:
Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo. Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria. El Lema de Gauss y el Lema de Zorn, por ejemplo, son considerados demasiado importantes per se para algunos autores, por lo cual consideran que la denominación lema no es adecuada.
Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.
Proposición: un resultado no asociado a ningún teorema en particular.
Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada se denomina conjetura o hipótesis. Por ejemplo: la conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann.
Teoremas dentro de la lógica y la lógica matemática
Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas (Véase también: sistema axiomático) y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente. En lógica matemática y en lógica proposicional, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica
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matemática se llama demostración a una secuencia finita de fórmulas lógicas bien formadas F1, ...,Fn, tales que cada Fi es o

bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales que jTeoremas dentro de otras ciencias
Con frecuencia en física o economía algunas afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras afirmaciones o hipótesis básicas se llaman comúnmente teoremas. Sin embargo, frecuentemente las áreas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomático por lo que estrictamente debería usarse con cautela el término teorema para referirse a esas afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos "más básicos".